2021関西医科大 絶対値記号・整数問題
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- Опубликовано: 9 фев 2025
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出来た。嬉み
x²=|x|²なので、|x|のまま式変形すれば場合分けせずに(|x|,y)が3組出せるのでスマートです。
「絶対値が出てきたらまず場合分け」なんてことはありません。
絶対値の中が文字ひとつの式なら丸々t(≧0)と置いてしまうと、絶対値が苦手でも楽になるかと。
週明けのため、遅くなりましたが、動画視聴ならびに答案のPDFアップとなりました。
note.com/pc3taro/n/nae2cd729aa29
xは整数ですから、|x|=x であることに気づけば、平方完成して、両辺4倍することで、実質的には楕円上の格子点をみつける問題に帰着できますね。
|x|^2=x^2 の打ちミスでした。答案のPDFは元からこの返信レスの前提で進めていましたので、何らの影響もありません。
久々に朝に解けました☺
与式のxを -xで置き換えても不変なことに注意し、取り敢えずx≧0に制限。
上記制限をさらに活かすためには、xではなくyの２次式と見て平方完成を行うほうが好ましい。
~~~~~~~~~~~~~~
以下x, y∈ℤを前提に議論し、いちいち断らない。
1°）x=0は明らかに不適。
2°）x>0のとき：
与式 ⇔ x^2 - xy + y^2 = 3
⇔ 4x^2 - 4xy + 4y^2 = 12
⇔ 3x^2 + (2y - x)^2 = 12 …①。
ここで
①⇒ 0
両辺2倍して、
|x|^2+(−y)^2+(y−|x|)^2=6
2乗の中身を全て足すと0になることに注意して、
(1, 1,−2) (−1,−1, 2)を割り振ると、
(|x|, −y)=(1,1) (1,−2) (2, −1)
∴(x, y)=(±1,−1) (±1, 2) (±2, 1)
場合分けはしたくなかった。ただそれだけ。
みんな判別式か(2|x|-y)^2+3y^2=12でやってんのかよ…。
既に数名の方がコメントに書かれている通り、x^2 = |x|^2 から(2|x|-y)^2 + 3y^2 =12 と変形する方が、
xの正負で場合分けを最初にするよりもチェックが楽で見通しが良いですね。
絶対値 即 場合分け ではなく、絶対値を残したままの方が考えやすい場合もある一例なのかなと。
xが整数であって、x^2, |x|, 定数項しかないからそれでいい（私もそうしています。）のですが、x^3 まであったとすれば、さすがに場合分けせざるを得なかったかもしれませんね。
@@PC三太郎 さん ご返信ありがとうございます。
正直にお伝えしますと、視聴前の初見ではやはり場合分けで解き始めました。
そして、いくつか値を出した後に、|x|を残したままの方が楽だなと漸く気付いた次第です。
仰るとおり、1次、3次など奇数次の多項式では場合分けが必要になりそうですね。
判別式でやりました。
x ≧ 0の場合
x^2 - xy + y^2 = 3 ⇔ x^2 - y * x + y^2 - 3 = 0
これをxに関する方程式と見なして，判別式を立てると
D = y ^2 - 4(y^2 - 3) = a^2(a ≧ 0としても一般性は失われない)
⇔ a^2 + 3y^2 = 12
ここから|y| ≦ 2と分かる
なお，x < 0の場合でもあっても判別式は同じになるので，結局|y| ≦ 2の場合の全てについて
当てはめをすれば終わり。
この問題、絶対値が付いていることで尻込みする人が多いと思うが、要はｘが＋とｰの場合の二つの方程式があると考えれば、そんな尻込みすることもないんじゃないかと思う。
絶対値が絡む問題って、この問題もそうですが、定義を思い出しさえすればすんなり解ける問題が多い印象。
与式をyについて解くと、y＝(lxl±{3(2+x)(2-x)}^(1/2)/2ですから、ー2≦x≦2の範囲から、xを抽出すると(x、y)の組み合わせは、(±1、ー1)、(±1、2)、(±2、1)(復号同順)の6組みが該当します。
絶対値外して検討するときにx≧0とx＜0の条件を忘れて検討してしまい答えが多くなった
これ判別式とやってること変わらないですけど、これをちゃんと認識することはとても大切なことだと思います。さて平方完成してyを絞るところですが、
0≦(2x+y)^2=12-3y^2=3(4-y^2)=3(2-y)(2+y)
より
-2≦y≦2 かつ yが整数
⇔y=±2,±1,0
が従います。同様の議論で判別式の条件が分かります。一度解の公式の証明を自分の手でするとよく分かると思います。
この陰関数を座標平面にプロットするとハート型になりますね！！
このグラフはハート型だ
wolfarmでプロットしたら桃になった🍑
らんだむひも
医者を目指す者は受験戦争をセイスるだけではなく、桃のように柔軟な頭で考えて、知識だけでなく、ヒトの心の方程式も解けるような人に来て欲しいという、大学のメッセージなのかもしれませんね。（こじつけ）
どちらも 0で無いのは自明
xは正負対称だから x≥1 として、最後に±つければ良いだけ
で、yが負なら (x,y)=(1,-1) も自明
yが正なら x,y 対称で x≠y だから x>y とすれば x(x-y)+y²=0 だから (x,y)=(2,1) は自明
全部、自明自明で終わりました
x^2=|x|^2 より |x|^2-|x|y+y^2 = 3 ⇔ 4|x|^2-4|x|y+4 y^2 = 12 ⇔ (2|x|-y)^2+3 y^2 = 12。
y=0のとき 解なし。
y=1のとき 2|x|-1 = 3 ⇔ |x|=2 ⇔ x=2,-2。 y=-1のとき 2|x|+1 = 3 ⇔ |x|=1 ⇔ x=1,-1。
y=2のとき 2|x|-2 = 0 ⇔ |x|=1 ⇔ x=1,-1。 y=-2のとき 解なし。
よって、(x,y) = (2,1),(-2,1),(1,-1),(-1,-1),(1,2),(-1,2)。
[補] 2|x|-1=±3 や 2|x|+1=±3 にしない理由は 2|x|-1≧-1, 2|x|+1≧1 なので-3にならないからです。
(|x|-y)^2+|x|^2+y^2=3×2とか、
3(|x|-y)^2+(|x|+y)^2=3×4から候補を絞る方法もありますね。
|x|=Xとおいて、X>=0
X^2-Xy+y^2=3
y>=0のとき
(X-y)^2+Xy=3
(X-y)^2とXyはともに0以上の整数だから、その組み合わせは(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)
(X,y)=(1,2),(2,1)、xは±つければok
y
xについての二次方程式とみて判別式Dを取り、それが平方数になる(0以上になる)ことを用いてyの値を絞り込むことでも解けますね
自分も同じ方法で解きましたが、ｙについての二次方程式として
判別式をとったほうが少しだけ簡単になると気づきました。
判別式D≧0 より |x|≦2 で (x,y) が整数解を持つのは |x|＝1,2 のときのみ
TETSUROUさんと全く同じです。ちょっと強引ですが簡単ですね！
秘技ではなく、場合分け・解の範囲しぼりで候補をしぼりました。
その後はしらみつぶしです。
はじめは定数分離かと思いましたけれども。
コメントした後,気づいたのですが、|x|で場合分けした方が、|x|が負数の場合が不要な分,少ないですね。
4|x|^2 - 4|x|y + 4 y^2 = 12 までは同じで、そこからyが1つになるように 3|x|^2 + (2y-|x|)^2 = 12 。
|x|=0のとき 解なし。 |x|=1のとき 2y-1=3,-3 ⇔ y=2,-1。 |x|=2のとき 2y-2=0 ⇔ y=1。
よって、(x,y) = (1,2),(-1,2),(1,-1),(-1,-1),(2,1),(-2,1)。
x≧0のとき方程式が正の2解を持つ条件として
y≧0かつy^2−3≧0とやったんですが、どこが間違っているのか教えて下さい🙇🏻♂️🙇🏻♂️
x^2-11xy+y^2=3の誤植であってほしいと願った時間が３秒ほどありました。
本質的には変わりませんが、yについての二次方程式とみなして解の公式をつかう方法もありますね
判別式D=12-3x^2≧0
より-2≦x≦2
y=(|x|±√(12-3x^2))/2
x=±2のときy=1
x=±1のときy=2, -1
x=0のときy=±√3で不適
おはようございます☀
ｘを正負に分けて範囲で求める。ただ、ｘの場合分けがあるとちょっと面倒だなぁと言う気持ちになってしまいますね。
例えばｘが正の場合とりあえず
（ｘ＋ｙ/2)²＋3ｙ²/4=3
となるので、自然と両辺4倍したくなりますね。
本日の勉強になりました。ありがとうございました。
焦ると出来ひんねんなこれ
xを正負で場合分けし、xの二次方程式とみなします。判別式で解をもつyの条件からyの候補を絞りこみ、そこからxが整数になるかを検討しました。中学の範囲だったので、解けました。平方完成は使いきなせませんでした。
かわいい
この問題含めて
今年の関西医科は数学の図形が2つハート型だったのでよっぽど愛を欲していたと思われます
備忘録70G"【 楕円形の不定方程式 : | x |＝ a ( ∈非負整数 ) ･･･① とおくと、与式 ⇔ 】
a²－a y＋y²＝ 3 ⇔ y²－a y＋( a²－3 )＝ 0 ･･･②, y は実数だから、(判別式)＝ 3･(4－a²) ≧ 0
①に注意して、 a＝ 0, 1, 2 が必要である。
(ⅰ) a＝ 0 のとき、②より y²＝ 3 となって、適さない。( ∵ y ∈整数 )
(ⅱ) a＝ 1 のとき、②より y²－y－2＝ 0 ⇔ y＝－1, 2 ( ∈整数 )
(ⅲ) a＝ 2 のとき、②より y²－2y＋1＝ 0 ⇔ y＝ 1 ( ∈整数 )
以上より、( a, y )＝ ( 1,－1 ), ( 1, 2 ), ( 2, 1 ) ⇔ ( x, y )＝ ( ± 1,－1 ), ( ± 1, 2 ), ( ± 2, 1 ) ( ∵ ① )■
平方完成で絞り込み、面白いなー
yについての二次方程式と見れば｜x｜もx²も正だから後で±つけることになるんで少し楽になるかもですね。
(左辺)=f(x)としてf(x)=f(-x)からx>0だけ検討したンゴ
瞬間平方完成ッ！！！
おはようございます。
（ガウス記号ほどではありませんが、）絶対値記号がついていると、気持ちが尻込みしてしまいます。
とはいえ、整数問題における ”ax^2+bx+c=0 に 4a を掛けて平方完成する手法” の有効性を実感させられる問題でしたね。
先日教えて頂いた平方完成の極意が、威力を発揮しとても勉強になりました。ありがとうございました。
xとyの実数存在条件から絞り込みました。パターン多すぎて面倒でした🙄
x^2に絶対値つければ良いかと
2021年医科大問題が続きますね。
シマッタ❗
計算間違いで、(x,y)＝(－1,－1)の時を入れ忘れた😅。
しかも、やり方も3で剰余分類してから、解の公式を使うやり方しちゃったわ。
xもyも3の倍数にはならなくて、
x≧0の時は、mod 3で、x≡1,y≡2またはx≡2,y≡1。
x
おはようございます。
必殺平方完成の利用の仕方、とてもよくわかりました！
(x,y)が解ならば(-x,y)も解なのでx非負に限って議論しても良いですね
絶対値がついてるから戸惑ってしまいますよね。
私大の前泊だりぃ
おはようござます。やはり平方完成でました。明日もよろしくお願いします。
両辺に4をかけた平方完成の方が、楽ですね。(x-y)^2+xy=3、(x+y)^2-3xy=3で、xyの範囲を絞り込みx、yを求めました。